Question

在长方体中已知AA1=2 AB=AD=a 1求异面直线B1C和BD1所成角的余弦。 2当a为何值时 使B1C⊥BD1？

在长方体中已知AA1=2 AB=AD=a
1求异面直线B1C和BD1所成角的余弦。
2当a为何值时 使B1C⊥BD1？
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Answer 1

延伸平面CC1B1B,即延长CB至E，使BE=BC、延长C1B1至E1，使B1E1=B1C1，连结BE1，D1E1、BD，
∵B1E1//BC，且B1E1=BC=a,
∴四边形BCB1E1是平行四边形，
∴BE1//CB1，
∴〈E1BD1与异面直线B1C和BD1所成角相等，
根据勾股定理，
BD1=√（2a^2+4),
BE1=CB1=√（a^2+4),
D1E1=√（a^2+4a^2)=√5a,
在△BD1E1中，根据余弦定理，
cos<E1BD1=(BD1^2+BE1^2-D1E1^2)/(2*BE1*BD1)
=(2a^2+4+a^2+4-5a^2)/(2*√(a^2+4)√(2a^2+4)
=(4-a^2)/[√(a^2+4)√(2a^2+4)]，
∴异面直线B1C和BD1所成角的余弦是(4-a^2)/[√[(a^2+4)(2a^2+4)],
2、很明显，当a=2时，cos<E1BD1=0,则<E1BD1=90°，
∴当a=2时，长方体变成正方体时，B1C⊥BD1。