如图,在正方形
如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点o,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点。求证:(1)C1、O、M三点共线(2...
如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点o,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点。求证:(1)C1、O、M三点共线(2)E、C、D1、F四点共面(3)CE、D1F、DA三线共点
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(1)、如图一,连接A1C1、AC ,
平面ACC1A1与平面BDC1的公共点是M和C1,故两平面的交线是MC1。
因为对角线A1C位于平面ACC1A1中,所以对角线A1C与平面BDC1交于点O必位于MC1上,亦即C1、O、M三点共线。
先证(3)、在平面ADD1A1中延长D1F交DA的延长线于G1点,由AA1∥DD1可知G1A/G1D=AF/DD1=1/2;
同样,在平面ABCD中延长CE交DA的延长线于G2点,由AB∥CD可知G2A/G2D=AE/CD=1/2;
在射线DA上,因为G1A/G1D=G2A/G2D,或G1A/AD=G2A/AD,所以G1与G2是同一点。这就说明,CE、D1F、DA三线共点。
再证(2)、由(3)可知,线段CE和D1F延长后是相交的,两条线段在同一平面内,即E、C、D1、F处在同一平面内。
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