Question

高等数学 定理证明 不懂的不要乱来

设函数f在X0处n（n>=2）阶可导，并且f（1）（Xo）=f（2）（Xo）=……f（n-1）（Xo）=0，f（n）（Xo）不等于0
（1）当n为偶数时，Xo必为极值点。若f（n）（Xo）>0,则Xo为极小值点；若f（n）（Xo）<0,则Xo为极大值点
（2）当n为奇数时，Xo不是极值点

Answer 1

此结论是极值判定的比较强的命题。
基本思路是归纳
首先n阶可导，所以f（n-1）。。。f（1），f都连续，f（n）具有介值性（达布定理）
由于f(n-1)=0,所以存在X0附近一个区间，记为（x0-m,x0+m）使得f(n-1)>0或者f（n-1）<0，
所以f(n-2)在这个区间内是单调的，f(n-2)(x0)=0,所以同样可以知道存在一个x0的领域，使得f(n-2)的值在x0的两边符号相反，所以有此也可以得到f(n-3)在x0处取得极致。所以如此类推可以得下述的结论

f(n-1),........f(n-2d-1)(d为整数2d+1<=n)都在x0处取得极值
f(n-2),.....f(n-2s)(s为整数2s<=n)都不在x0处取得极值

所以由上述思路可以得到（1）（2）
此结论的证明思路如上，但是取区间啊什么的繁琐过程都需要严格地用柯西法写出来也是很重要的，此题要求对柯西法的熟练掌握

这个结论在一般的高数或者是数学分析的书中都有写到，但是没有详尽的证明

你可以把它写出来当做练习柯西法呵呵

Answer 2

用归纳法证明，
设f(2n)(X0)<0
（1）设f(2n)(X0)<0
当n=1时，f(1)(X0)=0, f(2)(X0)<0, 则f(X0)取极大显然成立
当n=2时，f(2n-1)(X0)=f(3)(X0)=0, f(2n)(X0)=f(4)(X0)<0,
则f(2)(X0)取极大值，在X0的某领域内有f(2)(X)<=0，f(1)(X)单调递减，
当X<X0时f(1)(X)>f(1)(X0)=0,
当X>X0时f(1)(X)<f(1)(X0)=0,
故f(X),在Xo取极大值成立
设当n=k时，f(2k-1)(X0)=0, f(2k)(X0)<0时,f(2k-2)(X0)为极大值，则f(X),在Xo取极大值成立成立
当n=k+1时，f(2k+1)(X0)=0,f(2k+2)(X0)<0,则f(2k)(X0)=0为极大值，
故在X0的某领域内有f(2k)(X)<=0,f(2k-1)(X)单调递减，
当X<X0时f(2k-1)(X)>(2k-1)(X0)=0,
当X>X0时f(2k-1)(X)<f(2k-1)(X0)=0
故f(2k-2)(X),在Xo取极大值成立
所以f(X),在Xo取极大值成立成立
f(2n)(X0)>0时，同理可证X0为极小值点
（2）用上面方法吧

Answer 3

这个是李永乐全书上的，高等数学上的定理使其一种情况，利用高数书上定理推导即可。。