Question

证明方程X=asinX+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且它不超过a+b

Answer 1

证明：设f(x)=asinx+b－x,

则f(0)=b＞0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0,

又f(x)在(0,a+b］内是连续函数，所以存在一个x0∈(0,a+b］，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a·sinx+b的根。

因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不超过a+b。 

扩展资料

证明方程e^x=-x^2+3x+4的实根至少有一个，但不超过3个。

记f(x)=e^x+x^2-3x-4在(-∞，+∞)连续、可导。

f(0)=-3＜0，f(2)=e^2-6＞0。

在闭区间[0，2]上对f(x)用连续函数零值定理，可知f(x)在（0，2）∈（-∞，+∞)内至少有一零点。即方程至少有一实根。

下面反证实根不能超过三个。

设不然，存在互异x1，x2，x3，x4使f(xi)=0(i=1，2，3，4)。

分别在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上对f(x)用罗尔定理，f′(x)应该有三个根，但f′(x)=e^x+2x-3；f″(x)=e^x+2 ＞0。

表明f′(x)在(-∞，+∞)严格单调增加，最多有一个实根与f′(x)有三个实根矛盾。

故f(x)的零点，即方程e^x=x^2+3x+4的实根，不能超过三个。

Answer 2

证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且它不超过a+b
证明：令f(x)=asinx-x+b (a>0,b>0)
f(0)=b>0
f(a+b)=asin(a+b)-a-b+b
=asin(a+b)-a
=a(sin(a+b)-1)
因为sin(a+b)≤1所以sin(a+b)-1≤0
f(a+b)≤0
所以，f(x)=0，在（0，a+b]至少有一个根.
即方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且它不超过a+b