Question

在直角三角形ABC中，三个内角ABC的对边分别是abc，其中c=2，且cosA/cosB=b/a=√3/1。

设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧AC上，角PAB=θ°，求三角形PAC的面积最大值

Answer 1

因为△ABC是直角三角形，b/a=√3/1，
设a=k，则b=√3k,又c=2，
根据勾股定理得：k2+3k2=4，即k2=1
k=1，则a=1，b=√3
∵直角三角形ABC中，a=1/2c
∴∠BAC=派/6
由圆周角定理得到△PAB为直角三角形，又∠PAB=θ，
∴PA=AB•cosθ=2cosθ，
∴S△PAC=1/2PA•AC•sin（θ-派/6）=1/2•2cosθ•√3sin（θ-派/6）
=√3cosθ（√3/2sinθ-1/2cosθ)=√3/4（√3sin2θ-cos2θ）+√3/4
=√3/2sin（2θ-派/6）-√3/4
因为派/6＜θ＜派/2，
所以派/6＜2θ-派/6＜5派/6
当2θ-派/6=派/2，即θ=派/3，
S△PAC最大值等于√3/4