Question

关于线性代数的简单问题。。。。

矩阵的秩必须要和行向量也就是方程的个数一致吗?难道不能和列向量一致吗?很多的真题都说r(a)=列＜行，非零解，难道不能r(a)=行<列吗?是不是a的n*m，还是m*n有关啊?

Answer 1

矩阵的秩小于等于行向量，不一定等于方程数。求矩阵的秩，一般是把矩阵向量化成三角形，然后非0行就是矩阵的秩。所以矩阵的秩肯定不会大于行向量数。你说的列个数小于行的这种情况，在方程里是很特殊的。出现你那种情况就表示你那个方程组，方程数量比未知数还多。这时候，把矩阵尽量化成三角形，可以看出要么有些方程是多余的，也就是说，多出来的那些行向量其实和前面有用的行向量是重复的，比如（1，2，3，4）和（2,4,6,8）那么矩阵的秩还是等于行向量数。要么就是方程无解。比如一个未知数两个线性无关方程，2+x=0, 3x+4=0，就无解。一般不会出现这种情况

另外在同一个矩阵里面行空间和列空间的维数是相等的。秩既是列空间的维数，也是行空间的维数。

追问

a为m*n，b为n*m，abx=0。n>m非零解，和nm为什么不对啊？数三的。

Answer 2

矩阵Am*n的秩r<=min{m,n}
一个基本事实是矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩

Answer 3

矩阵的秩 <= min(m, n)，行和列的描述方法没有本质性的区别，关键在于A的列（行）中的线性无关的向量（极大线性无关组）个数。

追问

a为m*n，b为n*m，abx=0。n>m非零解，和n<m非零解，有什么区别。前一个不对吗?

追答

s = ab为mXm的，如果s*x = 0有非零解，那么说明s不是一个满秩矩阵，和m还有n没关系啊

Answer 4

矩阵的行秩和列秩是相等的