Question

高数题，麻烦帮忙解一下，详细一点。

Answer 1

(1)设g(x)=f(x)-x
显然，g(x)在[1/2，1]上连续，
且g(1/2)=1/2＞0
g(1)=-1＜0
根据零点定理，
存在η∈(1/2，1)，
使得g(η)=0
即f(η)=η

(2)设h(x)=e^(-λx)[f(x)-x]
显然，h(x)在[0，η]上连续，
在(0，η)内可导，
且h(0)=h(η)=0
根据罗尔定理，
存在ξ∈(0，η)，
使得h'(ξ)=0
h'(x)=e^(-λx){f'(x)-1-λ[f(x)-x]}
∴h'(ξ)=e^(-λξ){f'(ξ)-1-λ[f(ξ)-ξ]}=0
∵e^(-λξ)＞0
∴f'(ξ)-1-λ[f(ξ)-ξ]=0
即：f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1