Question

线性代数中，齐次方程和非齐次方程的通解是唯一的吗?他们的基础解系是唯一的吗?

在求基础解系时，对自由未知数可以任意取值吗?

Answer 1

非其次方程组的解的结构是这样的：
非齐次线性方程组的通解是非齐次方程组的一个特解与导出组基础解系的和。
依据上面的描述我们来看你的问题：
①线性代数中，齐次方程和非齐次方程的通解是唯一的吗?
通解是对非其次方程组谈的，非其次方程组的通解表示的内容是唯一的，表示形式可能不唯一，原因见下一个问题；
②他们的基础解系是唯一的吗?
基础解系是对齐次方程组谈的，其次方程组的基础解系中所含的线性无关的向量共有n-r个（其中n为未知数的个数，r为其次方程组系数矩阵的秩）。这n-r个向量是由自由向量取线性无关的n-r个而得到的。而使自由向量线性无关的n-r个值得取法不唯一，因此造成了基础解系的表示不唯一。
③在求基础解系时，对自由未知数可以任意取值吗?
可以任意取值，但正如②中所说，要保证取到的线性无关的向量的个数达到最大。

Answer 2

通解和基础解系都不是唯一的

自由未知量的取值 只要保证线性无关就可以 (因为此时添加分量仍线性无关)
一般情况下(如两个自由未知量) 取 (1,0), (0,1) 得基础解系

Answer 3

可以。如果是数值计算，在回代的时候需要加入防溢出（上溢或者下溢）处理。