考研 高数,关于2、3重积分,曲线 曲面积分 ,的对称问题。 这块我不太理解,尤其是 三重的 和曲面积分,

考研高数,关于2、3重积分,曲线曲面积分,的对称问题。这块我不太理解,尤其是三重的和曲面积分,是关于例如:积分区间xy面对被积的z?积分区间x对应被积yz?有时候还说x、... 考研 高数,关于2、3重积分,曲线 曲面积分 ,的对称问题。
这块我不太理解,
尤其是 三重的 和曲面积分,
是关于 例如:积分区间 xy面对 被积的z?
积分区间 x 对应 被积yz?
有时候还说x、y、z关于 原点 各个什么都对称 ,然后怎样怎样。。。
图片里,粉色部分x^2=y^2=z^2 :是因为什么?
x=y=z=0 :是因为 关于面yz,zx,xy对称,且为奇函数对么?
xy=xz=yz=0 :原因同上 对么?
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丘冷萱Ad
2012-11-22 · TA获得超过4.8万个赞
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多元函数积分的对称性有两种:奇偶对称性、轮换对称性,这些对称性适用于二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分
下面以三重积分和第一类曲面积分对称性为例来讲,二重积分和第一类曲线积分类似
1、奇偶对称性原则
当积分区域关于xOy面对称时,可考查z的奇偶性;
当积分区域关于xOz面对称时,可考查y的奇偶性;
当积分区域关于yOz面对称时,可考查x的奇偶性;
比如本题积分区域是一个球面,显然以上三条均是满足的,因此看哪个变量的奇偶性均可,xy关于x是奇函数,关于y也是奇函数,因此无论看x还是y均可知积分结果为0;xz和yz类似处理。

2、轮换对称性原则
当积分区域中x,y,z三个字母(或其中两个)进行轮换后,如果区域无变化,则结论是被积函数中的x,y,z也可进行相应的轮换。
比如本题积分区域是一个球面,显然将x,y,z进行轮换后这个球面没有任何变化,因此得出
∫∫ f(x,y,z)dS=∫∫ f(y,z,x)dS=∫∫ f(z,x,y)dS
这样也就得出了本题中的:∫∫ x² dS=∫∫ y² dS=∫∫ z² dS这个结论。
再举个例子,如果题目中积分曲面加一个条件:x²+y²+z²=R²,z≥0
此时看到,如果x,y,z轮换后,这个曲面是有变化的,因此上面的结论就不成立了,
不过要注意:由于x,y交换后曲面无变化,因此∫∫ x² dS=∫∫ y² dS仍是成立的。

最后再提醒一下,以上所有结论对于第二类曲线积分和第二类曲面积分不成立。

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