Question

麻烦贵团队求解一道方程题目，具体题目如下： 讨论方程x^3-3px+q=0在实数域内有几个根。

最好不直接用卡丹公式，因为老师没有讲

Answer 1

解
令f（X）=x^3-3px+q
f′（X）=3x^2-3=0
可得两个驻点x1=-1，x2=1
由图像可知
当f（-1）＜0或者f（1）＞0时，f（X）=x^3-3px+q与X轴有1个交点
f（-1）=-1+3p+q＜0
3p+q＜1
或者f（1）=1-3p+q＞0
-3p+q＞-1
当f（-1）=0或者f（1）=0时，f（X）=x^3-3px+q与X轴有2个交点
此时3p+q=1，或者-3p+q=-1
当f（-1）＞0且f（1）＜0时，f（X）=x^3-3px+q与X轴有3个交点
此时，3p+q＞1， ①
-3p+q＜-1→3p-q＞1②
①+②得
p＞1/3

总结
当p＞1/3时，方程x^3-3px+q=0有三个根
当3p+q=1，或者-3p+q=-1时，方程x^3-3px+q=0有两个根
当3p+q＜1，或者-3p+q＜-1（也可以用3p-q＜1）时，方程x^3-3px+q=0有一个根

希望能帮助你，数学辅导团为您解答，不理解请追问，理解请及时选为满意回答！(*^__^*)

追问

• 您好，f'(x)=3x^2-3p才正确呀

追答

哦，对，
当p＜0时
f'(x)＞0
单调上升，函数只有一个零点
当p=0时
函数只有一个零点
当p＞0时
驻点x=±√p
.......

Answer 2

假设pq都是实数
△=q²/4+(-3p)³/27
则
△>0，一个实数解
△=0，三个实数解，且有两个根相等
△<0，三个互异实根