Question

lim (2sinx+cosx)^(1/x) 求极限 x→0

用e^ln(2sinx+cosx)^(1/x) =(2sinx+cosx)^(1/x) 求

Answer 1

lim[x→0] (2sinx+cosx)^(1/x)
=lim[x→0] e^[(1/x)ln(2sinx+cosx)]

下面计算指数部分
lim[x→0] (1/x)ln(2sinx+cosx)
=lim[x→0] (1/x)ln(1+2sinx+cosx-1)
注：ln(1+u)等价于u
=lim[x→0] (2sinx+cosx-1)/x
=lim[x→0] 2sinx/x + lim[x→0] (cosx-1)/x
等价无穷小代换
=lim[x→0] 2x/x + lim[x→0] -(1/2)x² / x
=2+0
=2
因此原极限为：e²

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