Question

高数，二重积分 化极坐标问题，求大神解答！

Answer 1

极坐标别想太复杂其实很好化的。首先根据式子中的上下限可以确定积分区域，无脑先确定角度的取值范围，这里显然为（0，1/4π），其实到这基本就做出来了，这也是极坐标在特殊情况下的便利之处。随意取一个角度，做从原点出发一条射线，与积分区域不是有俩个交点么，把它们用瑟塔（额，我打不出那个字母，下面用t表示算了)表示出来，离原点近的下限，远的上限，就ok拉。
以这里为例，下限显然一直为原点，即为0，上限是抛物线与射线的交点。直接把极坐标中x，y的表达方式带入这个函数就行。x=rcost，y=rsint，y=x^2即为rsint=(rcost)^2,变一变，就成了r=sint/(cost^2),故r的上下限为0，sint/(cost^2)。在把式子中的x^2+y^2变为r^2，这就化成了较简单的极坐标积分。

追问

那个范围里 有y=x^2,还有y=x.解答中为什么只考虑前者，后者为什么不考虑了？

不好意思 刚刚看到😂

追答

你观察一下积分区域，就会发现第2个点总是在y=x^2上，只有当t=1/4π时，射线与y=x重合，它与y=x才有除（0,0）以外的公共点。