Question

一个高中数学关于解三角形的题 求大大们解答

已知在三角形ABC中 sinB(tanA+tanC)=tanAtanC 求证 (1) a b c 三个边成等比数列 （2） a=1 c=2 求三角形的面积 在线等 光速采纳 谢谢 求过程和答案

Answer 1

已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC，那么：
sinB(sinA/cosA + sinC/cosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
即sinB(sinAcosC+cosAsinC)/(cosAcosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
所以：sinBsin(A+C)=sinAsinC
又sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB，那么：
sin²B=sinAsinC
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC可得：
b²=a*c
所以边a，b，c成等比数列。
b²=ac
a=1,c=2,得b²=2
余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=3/4
∠B在ABC三角中，大小居中，只能为锐角
所以sinB=√7/4
根据面积公式，S=acsinB/2=√7/4
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Answer 2

(1)、∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC
∴ sinB(sinA/cosA+sinC/cosC)=sinAsinC/(cosAcosC)
sinB(sinAcosC+sinCcosA)/(cosAcosC)=sinAsinC/(cosAcosC)
sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinC
sinBsin(A+C)=sinAsinC
sinBsin(π-B)=sinAsinC
sin²B=sinAsinC
∵根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴b²=ac
∴a b c 三个边成等比数列
(2)、∵a=1 c=2
∴b=√2
则根据余弦定理：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(1+4-2)/(2*1*2)=3/4
又∵0<B<π
∴sinB=√(1-cos²B)=√7/4
∴S△ABC=1/2*acsinB=1/2*1*2*√7/4=√7/4