Question

设二阶常系数线性微分方程y''+αy'+βy=γe^x的一个特解为y=e^(2x)+(1+x)e^x试确定常数αβγ，并求通解

Answer 1

y=e^(2x)+(1+x)e^x，
∴y'=2e^(2x)+(2+x)e^x,
y''=4e^(2x)+(3+x)e^x,
代入原方程得
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x,
∴(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)-γ]e^x=0,对任意x都成立，
∴4+2α+β=0，
3+2α+β-γ=0，
1+α+β=0.
解得α=-3，β=2，γ=-1.
∴原方程是y''-3y'+2=-e^x,
特征根是1,2，其通解是y=c1e^(2x)+c2e^x+e^(2x)+(1+x)e^x.

Answer 2

1. 4e^(2x)+e^x+e^x+(1+x)e^x+α[2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x

   e^(2x)(4+2α+β)+e^x[3+2α+β-γ]+xe^x(1+α+β)=0

2. 4+2α+β=0        (1)

   3+2α+β-γ=0     (2)

   1+α+β=0          (3)

   (1-3)   ->   α=-3    代入(3) -> β=2 代入(2) -> γ=-1

3. 原方程变为：y''-3y'+2y=-e^x     

   其通解：       y=C1e^x+C2e^(2x)+xe^x