Question

已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC的中点,求证:AB²+3BC²=4BD²

已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC的中点,求证:AB²+3BC²=4BD²

Answer 1

证明：根据勾股定理：
AB²+3BC²=（BC²+AC²)+3BC²
=【BC²+（2DC)²】+3BC²
=【BC²+4DC²】+3BC²
=BC²+4DC²+3BC²
=4BC²+4DC²
=4(BC²+DC²)
=4BD²

Answer 2

由勾股定理得
CD²+BC²=BD²①
BC²+AC²=AB²②
①*4得4CD²+4BC²=4BD²③
②+3BC²=4BC²+AC²=AB²+3BC²④
∵D是AC中点
∴CD=1/2AC
∴CD²=1/4AC²,AC²=4CD²
代入到③中可知③=④
故AB²+3BC²=4BD²

Answer 3

BD2=BC2+CD2=BC2+(AC/2)2=BC2+(AB2-BC2)/4
4BD2=4BC2+AB2-BC2=AB2+3BC2
得证

Answer 4