Question

这题怎么做，求解答

Answer 1

用反证法.
因 f(x) 连续,且 y = x 显然连续,两个连续函数的差是连续函数,所以 f(x) - x 连续.
假设原命题不成立,就是说对任意实数 x,都有 f(x) ≠ x,因此 f(x) - x ≠ 0,
f(x) - x 连续,所以要么 f(x) - x > 0,要么 f(x) - x < 0 对一切实数都成立.
不妨假设 f(x) - x > 0 对一切实数都成立,也就是 f(x) > x 对一切实数成立.
任取 x = a,则 f(f(a)) > f(a) > a,另一方面,据题意有 f(f(a)) = a,
所以 a > f(a) > a,a > a,矛盾.
故原假设不成立,也就是说,至少有一个实数 c,使得 f(c) = c.
证毕.