Question

初二数学 几何 如图,在四边形abcd中,e,f,g,h分别是边ab,bc,cd,da的中点

如图,在四边形abcd中,e,f,g,h分别是边ab,bc,cd,da的中点
（1）请添加一个条件，使四边形efgh为菱形，并说明理由
（2）请添加一个条件，使四边形efgh为矩形，并说明理由
（3）请添加条件，使四边形efgh为正方形，并说明理由
要求：这是说理题，所以要用说理题的格式作答（即∵...... ∴......）其次，在重点步骤后面要打上括号，写上这步的一句（例：菱形的四边相等、有三个角为90°的四边形为矩形）
小弟的要求有点多，不过这也是老师滴要求......
小弟先谢谢各位数学高手了

Answer 1

在四边形abcd中,e,f,g,h分别是边ab,bc,cd,da的中点
则HG//AC//EF,EH//BD//FG
且GH=EF=1/2AC,EH=FG=1/2BD
所以四边形efgh一定是平行四边形

(1)使四边形efgh为菱形,即是要使得四边相等，所以只要添加条件AC=BD
∵.AC=BD
∴.GH=EF=EH=FG（等式性质）
∴四边形efgh为菱形（四边相等的四边形是菱形）
(2)使四边形efgh为矩形，所以只要添加条件AC⊥BD
∵.AC⊥BD，HG//AC//EF,EH//BD//FG
∴.EF⊥FG
∴平行四边形efgh是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
（3）使四边形efgh为正方形，所以要添加条件AC=BDAC⊥BD
∵.AC=BD
∴.GH=EF=EH=FG（等式性质）
.∴四边形efgh为菱形（四边相等的四边形是菱形）
∵.AC⊥BD，HG//AC//EF,EH//BD//FG
∴.EF⊥FG
∴平行四边形efgh是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∴四边形efgh为正方形(即是矩形又是菱形的四边形是正方形）

Answer 2

(1)添BD=AC
e,f,g,h分别是边ab,bc,cd,da的中点
BD，AC分别是EH，GF，GH，EF的中位线
即EH=GF，GH=EF
因为BD=AC
所以EH=GF=GH=EF
（2）BD垂直AC
同上（把上面=换成垂直即可证）
（3）添BD=AC BD垂直AC
既是矩形又是菱形的
的四边形是正方形

Answer 3

(1)AC=BD
(2)AC垂直BD
(3)=(1)+(2）
自己看看书，稍微看看就能写出来了

Answer 4

(1)解：添加AC=BD．
如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线
∴EH=FG=1/2BD，EF=HG=1/2AC，
∴当AC=BD时，
EH=FG=FG=EF成立，
则四边形EFGH是菱形．
∴添加AC=BD．
(2)解：∵F、G、H分别是BC、CD、AD的中点，(标AC，BD交于o。HG，DB交于o2)
∴FG∥BD，GH∥AC，
∴∠HGF=∠DO2G，∠DO2G=∠DOC，
∴∠DOC=∠HGF，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HGF=90°，
∴∠DOC=90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
（3）解：当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，
证明：∵H、G分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点，
∴HG∥AC，HG=1/2AC，
同理，EH∥BD，EH=1/2BD，GF=1/2BD
EF=1/2AC，
∵AC=BD∴EF=EH=GH=GF，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，∴GH⊥EH，
∴四边形EFGH是正方形．