Question

已知如图在△ABC中CD是边AB上的高以CD为直径的圆O分别交CA,CB交于E,F点G是AD的中点GE是圆O的切线吗?为什么

Answer 1

证明：连接OE，OG，DE
∵CD是△ABC的边AB上的高
∴∠BDC=∠ADC=90°
∵点G是AD的中点
∴AG=GD
又∵OC=OD
∴OG是△ACD的中位线
∴OG=1/2AC
∵CD是⊙O的直径
∴∠AED=∠DEC=90°
∴在Rt△AED中，AG=GD
EG=1/2AD（直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵OE=1/2CD
即OG/AC=EG/AD=OE/CD=1/2
∴△EOG∽△ACD
∴∠GEO=∠ADC=90°
∴GE是⊙O的切线

Answer 2

证明：连接OE，OG，DE
∵CD是边AB上的高

∴∠GDO=90°

∵CD是⊙O的直径，O为圆心
∴∠AED=90°，OE=OD
又∵点G是AD的中点
∴在Rt△AED中，EG=DG（直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
∴对于△EOG和△DOG，OE=OD，EG=DG，OG=OG

∴△EOG∽△DOG

∴∠GEO=∠GDO=90°

∴GE是⊙O的切线