Question

设P是椭圆（x²/4）+y²=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1||PF2|的最大值为？最小值？

两个都用均值不等式求

Answer 1

用均值不等式只能求最大值，不能求最小值
椭圆（x²/4）+y²=1
a²=4,a=2,c²=a²-b²=3,c=√3
根据椭圆定义，P在椭圆上，则
|PF1|+|PF2|=2a=4

根据均值不等式得
|PF1||PF2|≤[(|PF1|+|PF2|)/2]²=4
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时，取等号
∴|PF1||PF2|的最大值为4

又|PF2|=4-|PF1|,
|PF1|∈[a-c,a+c],即|PF1|∈[2-√3,2+√3]
∴|PF1||PF2|=|PF1|(4-|PF1|)
=-|PF1|²+4|PF1|
=-(|PF1|-2)²+4
∴x=2-√3或x=2+√3时，
-(|PF1|-2)²+4取得最小值1
当|PF1|=2时
-(|PF1|-2)²+4取得最大值4
即|PF1||PF2|的最大值为4，最小值为1

用均值无法求最小值。