Question

求差分方程x(t)-x(t-1)=a的解

Answer 1

已知函数f(x)=e^x-1-x （1）若存在x∈[-1，ln(4/3)]，满足a-e^x+1+x<0，求a的取值范围； （2）当x≥0时，f(x)≥(t-1)x恒成立，求t的取值范围。 解： （1）存在x∈[-1，ln(4/3)]，满足a-e^x+1+x<0等价于a小于f(x)在x∈[-1，ln(4/3)]的最大值： ∵ f(x)=e^x-1-x ∴ f'(x)=e^x-1 ∴ 当x∈[-1，0)时 f'(x)=e^x-1＜0，f(x)=e^x-1-x递减；当x∈(0，ln(4/3)]，时 f'(x)=e^x-1＞0，f(x)=e^x-1-x递增；且f(-1)=1/e，f(ln(4/3))=1/3-ln(4/3)，f(0)=0 ∴ f(x)最大=f(-1)=1/e ∴ a的取值范围为a∈(-∞，1/e) （2）由题： 当x≥0时e^x-tx-1≥0恒成立，令g(x)=e^x-tx-1， g'(x)=e^x-t 若t≤1则-t≥-1，g'(x)=e^x-t≥e^x-1≥e^0-1=0，g(x)递增，g(x)≥g(0)≥e^0-t·0-1=0，不等式e^x-tx-1≥0成立； 若t＞1则 当x∈[0，lnt]时g'(x)≤g'(lnt)=e^(lnt)-t=0，g(x)递减； 当x∈[lnt，+∞)时g'(x)≥g'(lnt)=e^(lnt)-t≥0，g(x)递增； 从而，g(x)在x∈[0，+∞)上取得最小值g(lnt)=t-tlnt-1，令h(t)=t-tlnt-1，t∈(1，+∞)，h'(t)=1-lnt-1=-lnt＜0，h(t)在t∈(1，+∞)上递减，h(t)＜h(1)=0，即e^x-tx-1≥0在x∈[0，+∞)不能恒成立； 综上，t的取值范围为t∈(-∞，1]
你好72017-3-15 12:41:26h泊

追问

不是这样的

Answer 2

令t=1, 2, ...k-1代入差分方程得：
y(2)-y(1)=2
y(3)-y(2)=2*22
...
y(k)-y(k-1)=2(k-1)2
以上k-1个式子相加得：
y(k)-y(1)=2[12+22+..+(k-1)2]
=2(k-1)k(2k-1)/6
=k(k-1)(2k-1)/3
因此有y(k)=y(1)+k(k-1)(2k-1)/3
你好12017-3-15 12:51:15n声