Question

非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,证明它有n-r+1个线性无关的解 求助求助，在线等答案啊啊啊！！

Answer 1

设a是非齐次线性方程组的一个特解
b1,...,bn-r 是导出组的一个基础解系
则 a,a+b1,...,a+bn-r 是非齐次线性方程组的 n-r+1 个线性无关的解。证明如下：
设方程组是 AX＝b 则Aa＝b Abi＝0 ﹙i＝1,……，n-r﹚
A﹙a+bi﹚＝Aa+Abi＝b+0＝b
∴a,a+b1,...,a+bn-r 是非齐次线性方程组的 n-r+1 个解.
假如它们是线性相关的，则有n-r+1 个不全为零的数k0,ki,……,kn-r
使得k0a+k1﹙a+b1﹚+……+kn-r×﹙a+bn-r﹚＝0
先证明 k0≠0 否则k0＝0 有﹙k1+……+kn-r﹚a＝-﹙k1b1+……+kn-r bn-r﹚
如果k1+……+kn-r≠0 则a可以用b1,……,bn-r线性表示，Aa＝0≠b 不可。
如果k1+……+kn-r＝0 则k1b1+……+kn-r bn-r＝0 k1,……，kn-r中必有非零者。与b1,……,bn-r线性无关矛盾。∴k0≠0
有﹙k0+k1+……+kn-r﹚a＝-﹙k1b1+……+kn-r bn-r﹚
如果k0+k1+……+kn-r≠0 则a可以用b1,……,bn-r线性表示，Aa＝0≠b 不可
如果k0+k1+……+kn-r＝0 ，则k1b1+……+kn-r bn-r＝0 。
则从b1,……,bn-r线性无关。得到k1＝……＝kn-r＝0 ,从而k0＝0.不可。
∴“它们线性相关”的假设是错误的。即 a,a+b1,...,a+bn-r 是非齐次线性方程组的 n-r+1 个线性无关的解。

Answer 2

设a是非齐次线性方程组的一个特解
b1,...,bn-r 是导出组的一个基础解系
则 a,a+b1,...,a+bn-r 是非齐次线性方程组的 n-r+1 个线性无关的解