Question

试从dx/dy=1/y'导出:d²x/dy²=-y'''/(y')³

为什么直接在1/y'上再次求导不得答案？
二阶导数不是在原导数上再次求导吗？
试从dx/dy=1/y'导出:d²x/dy²=-y'''/(y')³

Answer 1

这个问题很好
首先，dx/dy=1/y',这里必须明确一点y'并非对y的函数，而仍然是y对x的函数，即y'=f(x), 即这里的dx/dy=1/y'=f(x)
所以d(dx/dy)/dy=[d(dx/dy)/dx]*[dx/dy]=[-y"/(y')²][1/y']=-y''/(y')³
上式中因为dx/dy=1/y'=f(x)，所以考虑先对x求导，然后乘以x对y的导数。

你如果直接对dx/dy=1/y'求二阶导数得出d²x/dy²=-y"/(y')²就是错误的，这里错误的原因在于把y'看做是对y的函数了

追问

请问为什么要写成这种形式d(dx/dy)/dy=[d(dx/dy)/dx]*[dx/dy]呢？
对y的函数与y对x的函数有什么区别呢？
书上也这么写的但是看不懂 感觉很难跟上

追答

因为dx/dy=f(x), 所以d(dx/dy)/dy直接对y求导是不行的，dx/dy中不含有y没法直接对y求导，但可以把x看做y的函数，先对x求导，然后乘以x对y的导数，这样进行转化。这里其实就是复合函数的链式求导法则。

Answer 2

解：不能直接在1/y'上再求导。因为根据求导公式(u/v)'≠u'/v'，所以（1/y')'≠1/y''
二阶导数是在一阶导数上再求导，而不是在原导数上求导
y'=dy/dx,∴dx/dy=1/y'
y''=(dy/dx)'=d(dy/dx)/dx
这样就可以推导出来了啊

追问

谢谢 懂了 我还下问一个题
密度大的陨星进入大气层时，当他离地心为s千米时的速度与根号s成反比。试证陨星的加速度与s平方成反比！
a=d²s/dt²=d(k/根号s)/ds*（ds/dt）=-1/2*k/(s二分之三次方)*(k/根号s)
d(k/根号s)/ds这个应该怎么算
是先微分（k/根号s）再除以微分s吗？
刚学微分不太懂
希望能指导我一下

追答

呵呵，你写得太复杂了，我看不清楚。不过你记住一点：“微商（dy/dx)=导数y'，所以dy=y'dx”；因此，求微分你一定要导数公式记好，在仔细一点就行了。