Question

已知函数f（x）＝ax＋lnx（a∈R）.

（1）当a＝2时，求函数f（x）的图像在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）＝x∧2－2x＋2，若对任意x1∈（0，＋∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2）求a的取值范围。急用谢谢啦^O^

Answer 1

（1）f'（x）=a+1/x, f(1)=a, f'(1)=a+1,当a＝2时，
在点（1，f（1））处的切线方程:y-a=(a+1)(x-1)，即y==3x-1
（2）f‘（x）=a+1/x,∵x>0，∴当a≥0时，f‘（x）>0，函数在（0，+∞）递增。
而当a<0时,0<x<-1/a,f'(x)>0函数递增；x>-1/a，函数递减
（3）g（x）＝x∧2－2x＋2，其最小点是x=1，对x2∈[0，1]，g（x2）的最小值是g(1)=1
∴若对任意x1∈（0，＋∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2）,则要f(x)<1
此时，a<0,由（2）知道，f(-1/a)=-1+ln(-1/a)<1,-ln(-a)<2,-a>e＾(-2),∴a<-e＾(-2)
注：没有检验，请按此思路，自己再作一下

Answer 2

f'(x)=a+1/x
切线方程 y-2=2（x-1）
单调区间根据a的取值需要讨论，就是解个不等式方程。很容易的

Answer 3

（1)(y-2)=2（x-1） （2）a>=0时，（0，+~）单增；a<0时，（0，-1/a）单增，（-1/a，+~）单减