Question

已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|,(1)当a>2时,求函数y=f(x)在区间【1,2】上的最小值？

（2）若a=2时，方程f(x)=m有三个不同的实根，求m的取值范围？详细答案

Answer 1

1）a>2时，y=f(x)在区间【1,2】上的函数化简为f(x)=x（a-x) =-(x-a/2)平方+a平方/4 根据图像可对称轴为a/2,
当2小於a小於4时 最小值在x=3/2时
当a大於等於4时 最小值在x=1时
2）当x小於2时 y=f(x)-m=x(2-x)-m delta=4-4m大於等於0 解m大於等於1
当x=2时 y=f(x)-m=-m=0,
当x大於2时 y=f(x)-m=x(x-2)-m delta=4+4m大於等於0 解m大於等於-1，总上
m大於等於-1

Answer 2

当x>a时，f(x)=x^2-ax=(x-a/2)^2-(a^2)/4 ①
当x<a时，f(x)= -(x^2-ax)= -(x-a/2)^2+(a^2)/4 ②
当x=a/2时，方程①达到最小值-(a^2)/4，方程②达到最大值(a^2)/4
由于a>2，因此在区间[1,2]上，方程②为增函数，在x=1处的值为最小，即a-1
由此可知，方程②的最小值比方程①的最小值大，因此整个方程的最小值为方程①的最小值，即
-(a^2)/4