Question

求证tan²1/7π+tan²2/7π+tan²3/7π=21

如果答的好悬赏我还会追加

Answer 1

若x=kπ/7，k=1,2,3,4,5,6
显然满足3x+4x=kπ，于是tan3x=-tan4x
由基本公式得到tan(3x)=[tan(2x)+tanx]/[1-tan(2x)*tanx]
=[2tanx/(1-tan²x) +tanx]/[1- 2tanx/(1-tan²x) *tanx]
=[2tanx+tanx(1-tan²x)]/(1-tan²x-2tan²x)
=(3tanx-tan³x)/(1-3tan²x)
=tanx *(tan²x -3)/(3tan²x -1)

同理tan4x=2tan2x/(1-tan²2x)
=[4tanx/(1-tan²x)] / [1- 2tan²x/(1-tan²x)²]
=4tanx(1-tan²x)/(1-6tan²x+tan^4x)
记tanx=t，方程化为
(t³-3t)(1-6t²+t^4)= -4t(3t²-1)(1-t²)
显然有一个根是t=0，而另外6个是方程
t^6-21t^4+55t²-7=0的根，而且有三对互为相反数
则原式中的三个数为方程y³-21y²+55y-7=0的三个根
所以由一元三次方程 ax³+bx²+cx+d=0
设其根分别是 x1、x2、x3；则 a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0
展开后即可看出根与系数的关系（就是韦达定理）即x1+x2+x3=-b/a
那么这里的三个根即tan²1/7π+tan²2/7π+tan²3/7π=21

追问

能再细致的讲讲为什么要这样设吗？

追答

只能说是感觉吧，而且进行了尝试
4/7π=2×2/7π=2×2×1/7π
而且1-4/7π=3/7π