Question

求教啊，大神们

Answer 1

e^tanx - e^x
= e^x [ e^(tanx - x) - 1 ]
e^x (tanx - x)
下面证明 tanx - x 与 x^3 同阶
lim(x→0) (tanx - x) / x³
= lim(x→0) (1/cos²x - 1) / (3x²) （洛必达法则）
= lim(x→0) (1 - cos²x) / (3x²cos²x)
= lim(x→0) sin²x / (3x²)
= 1/3
故 e^tanx - e^x 与 x³ 同阶即 n = 3

追问

谢谢了

Answer 2

同阶无穷小量的比值的极限为常数
所以让两者相除求极限
应用罗必塔法则
得到((e^tanx)/cos^2x-e^x)/nx^(n-1)
上下乘以cos^2x，再用替换同阶无穷小量（tgx=x，cosx=1-0.5x^2）
得出(0.25x^4)(e^x)/nx^(n-1)(1-0.5x^2)^2
e^x=1,1-0.5x^2=1
所以化为1/4n*x^(5-n)
若为常数，则必须n=5

追问

感谢您的回答

不过我觉得答案是3

不过还是谢谢了

Answer 3

　　　lim[(e^tanx)-(e^x)]/xⁿ
　　= lim(e^x)*lim[e^(tanx-x)-1]/xⁿ
　　= lim(tanx-x)/xⁿ (0/0)
　　= (1/n)*lim(sec²x-1)/[x^(n-1)]
　　= (1/n)*lim(1/cos²x)*lim(1-cos²x)/[x^(n-1)]
　　= ……