Question

已知点P（4,2）是直线L被椭圆X^2/36+Y^2/9=1所截得的线段的中点，求直线L的方程 请写出详细过程

Answer 1

1.当k不存在时，直线L为x=4,点P不可能是中点，显然不合题意，
2.当k存在时，设直线L的方程为y=k(x-4)+2
设L与椭圆的两个交点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)
P是线段的中点， (x1+x2)/2=4, (y1+y2)/2=2, 所以x1+x2=8,y1+y2=4（*）
这两点代入椭圆方程 x1^2+4y1^2=36, x2^2+4y2^2=36
两式相减 x1^2-x2^2+4(y1^2-y2^2)=0， (x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
(*)式代入 8(x1-x2)+16(y1-y2)=0 (y1-y2)/(x1-x2)=-1/2=k
直线方程为y=-1/2*(x-4)+2 即x+2y-8=0
以上我用的叫做点差法，解决与中点有关的问题，常用此法。希望对你有帮助。

Answer 2

直线l被椭圆X^2/36+Y^2/9=1所截得的线段MN的中点A(4,2)M (xM,yM),N(xN,yN)满足
xM+xN=2xA=8,yM+yN=2yA=4
k(l)=(yM-yN)/(xM-xN)=(y-2)/(x-4)把x^2/36+y^2/9=1化为
x^2+4y^2=36于是
(xM)^2+4(yM)^2=36......(1)
(xN)^2+4(yN)^2=36......(2)
(1)-(2):
(xM+xN)*(xM-xN)+4(yM+yN)*(yM-yN)=0
(xM+xN)+4(yM+yN)*(yM-yN)/(xM-xN)=0
8+4*4*(y-2)/(x-4)=0
直线l的方程:x+2y-8=0