Question

概率论事件相互独立问题

书上定义：
对事件A，B，C，若条件
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(AC)=P(A)P(C) (2-6)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C) (2-6')
中成立（2-6），则称三个事件A,B,C是两两独立的。若还满足（2-6'）则称三个事件A,B,C是[相互]独立的。
我觉得奇怪，他说“若‘还’满足（2-6'）”，难道在三个事件两两独立的前提下，还有出现可能A,B,C不相互独立的情况？就是说（2-6）难道不是（2-6'）的充分条件吗？我实在想不出有什么反例。
麻烦各路高手解答一下……

Answer 1

当然啊!
在三个事件两两独立的前提下，还有出现可能A,B,C不相互独立.
请看如下的例子:
关于三个事件两两独立，但三个事件并不相互独立.
设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以A,B,C分别记投一次四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件.
得
P(A)=P(B)=P(C)=2/4=1/2,
P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4
则可得A,B,C两两独立！
但P(ABC)=1/4，并不等于P(A)P(B)P(C)=1/8.
故此时A,B,C不相互独立。

Answer 2

A、B、C互相独立，说明ABC 间无关联，是互相独立的，但两两独立指A和B间独立，B和C之间独立，A和C间独立，但三者放在一起，并不能判断他们是无关的。

很著名的反例投掷一个正四面体的骰子，每个面涂有3中颜色的，可以证明两两独立不一定相互独立。

追问

你的反例可以再解释清楚点吗？太模糊了。

追答

看这个例子：
设有四张外型一样的卡片,上分别写 有数字2,3,5,30;今从中任取一张观察其上数字:
A={取到是2的倍数}; B={取到是3的倍数};C={取到是5的倍数};
则A,B,C是两两独立而不是相互独立.
因为:A={2,30};B={3,30};C={5,30}; AB=AC=BC=ABC={30}
所以: P(A)=P(B)=P(C)=0.5,P(AB)=P(A)P(B)=0.25,类似P(BC)=P(B)P(C);P(AC)=P(A)P(C)
而: P(ABC)=0.25, 但P(A)P(B)P(C)=0.5*0.5*0.5=0.125 两者不等.