⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D。求证△ABC∽△BDC

若AC=8,BC=6,求三角形BDC的面积... 若AC=8,BC=6,求三角形BDC的面积 展开
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分析:(1)由AB是⊙O的直径,可得∠ACB=∠BCD=90°,又由BD是⊙O的切线,根据同角的余角相等,可得∠A=∠CBD,利用有两角对应相等的三角形相似,即可证得△ABC∽△BDC;
(2)由AC=8,BC=6,可求得△ABC的面积,又由△ABC∽△BDC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△BDC的面积.
解:(1)证明:∵BD是⊙O的切线,
∴AB⊥BD,
∴∠ABD=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠BCD=90°,
∴∠A+∠D=90°,∠CBD+∠D=90°,
∴∠A=∠CBD,
∴△ABC∽△BDC;
(2)解:∵△ABC∽△BDC,
∴S△ABCS/△BDC=(AC/BC)²,
∵AC=8,BC=6,
∴S△ABC=12AC•BC=12×8×6=24,
∴S△BDC=S△ABC/(ACBC)²=24/(86﹚²=272.
htphtp001
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(1)
根据已知条件得
△ABC为RT△,∠C=90
RT△ABC与RT△ABD共用∠A
RT△ABC∽RT△ABD
同理可求
RT△BDC∽RT△ABD

RT△BDC∽RT△ABC

(2)
AC=8,BC=6
根据勾股定理得,AB=10
RT△ABC∽RT△ABD
AC:BD=BC:AB
8:BD=6:10
BD=40/3

S△ABD=1/2ABxBD=1/2x10x40/3=200/3
S△ABC=1/2ACxBC=1/2x8x6=24
S△BCD=S△ABD-△ABC=200/3-24=128/3
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hebchina
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⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,则∠ACB=90°;
过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D,则DB⊥AB于B,∠ABD=90°;
∠A=∠DBC,[同弧圆周角=弦切角]
RT△ABC∽RT△BDC,[AAA]

AC=8,BC=6,AB²=AC²+BC²=8²+6²=10²
AB=10
AB:BD=AC:BC
BD=AB*BC/AC=10*6/8=15/2;
RT三角形BDC的面积=RT三角形ABD的面积-RT三角形ACB的面积
=AB*BD/2-AC*BC/2
=10*15/2*1/2-8*6/2
=27/2
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xwdjxyc
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因圆心O在AB上,所以∠ACB=90°。
因BD是圆的切线,所以∠ABD=90°,
因为∠BCD+∠CBD=90°
∠ABC=∠BDC
所以△ABC∽△BDC

由△ABC∽△BDC得,AC/BC=BC/CD
得8/6=6/CD
CD=9/2
S=(6×9/2)/2=27/2=13.5
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