Question

如图所示,已知在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90°,D示斜边AB上任何一点

如图所示,已知在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90°,D示斜边AB上任一点,AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F。求证：CE=BF。

Answer 1

证明：因为∠ACB=90度，
所以∠ACE+∠BCF=90度
因为AE⊥CD
所以∠ACE+∠CAE=90度
所以∠CAE=∠BCF
又因为AC=BC,∠CEA=∠CFB=90度
所以 △ACE≌ △BCF（AAS)
所以CE=BF

Answer 2

∠CAE+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90°
→
∠CAE=∠BCF
又∠AEC=∠BFD=90°
等腰直角三角形 → AC=BC
根据（角角边定理）得到 △ACE≌ △BCF
→CE=BF

Answer 3

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．
（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD

Answer 4

因为：<ACE+<FCB=90,<ACE+<CAE=90,<FCB+<CBF=90,
所以：<FCB=<CAE,<CAE=<CBF,
又因为AC=BC
所以△ACE≌△CBF
那么CE=BF