Question

当x趋于0时，求√1+tanx-√1+sinx/x*(1-cosx)的极限

Answer 1

楼上做法太复杂了，本题用有理化来做
lim[x→0] [√(1+tanx) - √(1+sinx)]/[x(1-cosx)]
分母先用等价无穷小代换
=lim[x→0] 2[√(1+tanx) - √(1+sinx)]/x³
分子有理化
=lim[x→0] 2[√(1+tanx) - √(1+sinx)][√(1+tanx) + √(1+sinx)] / x³[√(1+tanx) + √(1+sinx)]
=lim[x→0] 2(tanx-sinx) / x³[√(1+tanx) + √(1+sinx)]
=lim[x→0] 2tanx(1-cosx) / x³[√(1+tanx) + √(1+sinx)]
分子等价无穷小代换
=lim[x→0] x³ / x³[√(1+tanx) + √(1+sinx)]
=1/2

【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

Answer 2

分子分母用罗必达法则三次。
分子太繁杂了f'''(0)=1.5
分母为q'''(x)=-xsinx+3cosx
q'''(0)=3
所以原极限=1.5/3=1/2