Question

已知函数f(x)=ln x-a²x²+ax(a∈R)

(1)当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点
(2)若函数f（x）在区间（1，+∞）上 是减函数， 求实数a的取值范围

Answer 1

1、a=1时，f(x)=lnx-x²+x，定义域为：x>0
f'(x)=1/x-2x+1=-(2x²-x-1)/x=-(2x+1)(x-1)/x
x>0，则：2x+1>0，
所以，易得：0<x<1时，f'(x)>0；x>1时，f'(x)<0；
所以，f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减
则f(1)是最大值，f(1)=ln1-1+1=0
f(x)的最大值为0
所以，函数f(x)只有一个零点。
题设得证。

2、
f'(x)=1/x-2a²x+a=-(2a²x²-ax-1)/x
在（1，+∞）上 是减函数，则f'(x)<0对x>1恒成立
即：-(2a²x²-ax-1)/x<0对x>1恒成立
即：2a²x²-ax-1>0对x>1恒成立
观察该式，可以十字相乘：
(2ax+1)(ax-1)>0
（1）a=0时，-1>0，舍去；
（2）a<0时，x1=-1/2a>0，x2=1/a<0
不等式的解为：x<1/a或x>-1/2a
对x>1恒成立，则：-1/2a≦1
得： a≦-1/2
所以，a≦-1/2
（3）a>0时，x1=-1/2a<0，x2=1/a>0
不等式的解为：x<-1/2a或x>1/a
对x>1恒成立，则：1/a≦1
得： a≧1
所以，a≧1
综上，实数a的取值范围是：a≦-1/2或a≧1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

利用导数
（1）f'(x)=1/x+2x+1=(2x^2+x+1)/x
又x>0,2x^2+x+1>0,则f'(x)>0,所以f(x)为增函数，即只有一个零点。

追问

跪求第二问

追答

没时间祥答了，说一下过程。求导，利用导数<0在（1，+∞）上成立，分离出参数，转化为求函数在（1，+∞）的最值问题。不知这样说行么？不行的话，明天详细帮您解答。