Question

自认为立体几何难题一道，题干很短，大神请进

自认为立体几何难题一道，题干很短，大神请进要求：
不建系，不用向量，不用等体积法，用纯几何方法

Answer 1

补成正方体。内切球的球心在PN上(PN是正方体的对角线的一半，与PB相等，N是PB的中点)。

追答

字母打错了。N为PB中点，球心在DN上。DN所在直线是正方体的对角线，DN长是PB的一半。

设M为PA中点，则M为D在面PAB上的投影点。

MN是DN在面PAB上的投影。在三角形DMN的斜边DM上取一点O，过O做OQ垂直MN于Q，使OD=√3DQ，计算DQ既为半径。

试试，可能可以

追问

斜边应该是DN吧

为什么要这么取线段长？

追答

对，是DN。因为无论球多大，球心到D点的距离一直是半径的√3倍。

四个侧面中，先不考虑两个斜的。两个与底面垂直的侧面，与底面，就限定了球体～球心到这三个面等距。

若以球心为一个顶点，与三个面组成正方体，可知OD是这个正方体边长的√3倍。

答案是不是(2+√2)r=a？我不会用等体积算。

追问

是这个

MN是DN在面PAB上的投影。在三角形DMN的斜边DM上取一点O，过O做OQ垂直MN于Q，使OD=√3DQ，计算DQ既为半径。

这个怎么操作，是只错了一个字母吗

追答

只是把DN错打成DM。

前面一堆都是为了把复杂的立体图形缩到平面图形直角三角形DMN中。

然后只在DMN中求r(既OQ)

追问

感觉这个做不出来，因为DQ>OD

追答

晕，上面还打错一个，应该OD=√3OQ

右边的图，各边长由立体图中求得，就确定了各边比例，由比例可以用r表示ON=(√3/√2)r。

ON+OD=DN=√3/2a

追问

懂了

你是学霸吗

追答

不是，我已经工作了

追问

嗯

多谢

Answer 2

由等体积法，球心到5个面的距离相等，则r×(S1+s2+s3+s4+s5)=V

Answer 3

目测，和四个侧面相切时最大？

追问

问题是怎么算半径。。

追答

纯几何不好证。。体积法可行

追问

。。。

追答

这样想不知可不可以
易知与四个面相切时，球心在平面BDP中
球在BDP上的截面就是BDP的内切圆
根据内切圆公式，r=（BD+DP-BP）/2
此时最大

追问

跟答案不一样，没那么简单，我想了一个晚上

追答

好吧放弃了。。答案怎么说

追问

等体积

追答

那为何作死不用。。

追问

拓宽思维

隔壁有思路了，可以去看看