Question

设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) 当0<a<1,用定义判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的最小值

拜托大家了，急用啊！！！求完整过程

Answer 1

取0≤x1<x2,
于是
f(x2)-f(x1)=【x2+a/(x2+1)】-【x1+a/(x1+1)】
=(x2-x1)-a(x2-x1)/【（x2+1)(x1+1)】
=(x2-x1){1-a/【（x2+1)(x1+1)】}
因为x1<x2
于是x2-x1>0
还有a/【（x2+1)(x1+1)】<a/(1+0)(1+0)=a<1
于是){1-a/【（x2+1)(x1+1)】}>0
从而f(x2)-f(x1)>0
于是就是当0≤x1<x2时，有f(x2)>f(x1）
于是f(x))=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) 当0<a<1
是增函数

追问

我不会做求最小值

追答

既然证明了是单调递增，那么当x越来越大的时候，f(x)也跟着越来越大
于是最小值在x最小的时候取得，就是当x=0是取最小值
于是最小值为
f(0)=0+a/(0+1)=a

Answer 2

设m，n∈[0,+∞) ，且m<n
f(n)-f(m)=n+a/(n+1)-m-a/(m+1)
=n-m+a(m-n)/(m+1)(n+1)
=(n-m)[1-a/(m+1)(n+1)]
因为m+1>=1,n+1>=1.0<a<1
所以a/(m+1)(n+1)<1
所以f(n)>f(m)，f(x)是单调增函数，最小值为f(0)=a

Answer 3

好难