Question

已知向量m=（sin（2x+π/6），sinx），n=（1，sinx），f（x）=m*n。（1）求函数y=f(x)的最小正周期及单调

递减区间；（2）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若f（B/2）=（根号2+1）/2，b=根号5，c=根号3，求a的

Answer 1

（1）❶由m=（sin（2x+π/6），sinx）
n=（1，sinx）
f（x）=m*n

得f（x）=sin（2x+π/6）+sin²x
=sin2x·cos（π/6）+cos2x·sin（π/6）+sin²x
=½·√3·sin2x+½cos2x..................................................①

❷由cos2x=1-2sin²x得sin²x=½﹙1-cos2x﹚................................②
❸把②代入①中得到f（x）=½·√3·sin2x+½cos2x+½﹙1-cos2x﹚

=½·√3·sin2x+½cos2x+½-½cos2x
=½·√3·sin2x+½
即f（x） =½·√3·sin2x+½..........................................................③
即由③式得到T=2π/2=π即y=f(x)的最小正周期为π
类比于正弦函数递减区间【½·π+2kπ，½·3π+2kπ】得到y=f(x)的单调递减区间为
【¼·π+2kπ，¼·3π+2kπ】

（2）由题意得f（B/2）=½（√2 +1）=½·√3·sin2·(B/2 ) +½=½·√3·sinB+½
½（√2 +1）=½·√3·sinB+½
sinB=⅓·√6
由正弦 sinB=⅓·√6及cosB=√（1-sin²B）得cosB=±⅓√3
由cosB=(a²+c²-b²)/2ac式子代入b=√5，c=√3，cosB=±⅓√3得
a²±2a-2=0

当COSB＜0时，有 a²-2a-2=0得a=（√3）+1
当COSB＞0时，有 a²+2a-2=0得a=（√3）-1

故a=（√3）±1【因为题目中没有限定△ABC为何种三角形】

Answer 2

f(x)=sin(2x+π/6)+sin²x
=sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6+(1-cos2x)/2
=(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x+1/2-(1/2)cos2x
=(√3/2)sin2x+1/2，
(1)f(x)的最小正周期为π，
由π/2+2kπ≤2x≤3π/2+2kπ，得π/4+kπ≤x≤3π/4+kπ(k∈Z)，
f(x)的单调减区间是[π/4+kπ，3π/4+kπ] (k∈Z)。
(2)∵f(B/2)=(√3/2)sinB+1/2=(√2+1)/2，∴sinB=√2/√3，
∴cosB=±√(1-2/3)=±1/√3，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
当cosB=1/√3时，5=a²+3-2a，即a²-2a-2=0，解得a=1+√3(负值舍去)；
当cosB=-1/√3时，5=a²+3+2a，即a²+2a-2=0，解得a=-1+√3(负值舍去),
故a=1+√3或a=-1+√3。