Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B作BD⊥CP,垂足为点D.

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B作BD⊥CP,垂足为点D.
（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证:△BCD∽△ABC.
（2）如图2，若BC=2厘米，cotA=2, 点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是厘米/秒.设点P运动的时间为t秒, △BCD的面积为S平方厘米，求出S关于t的函数解析式，并写出它的定义域.
（3）在第(2)小题的条件下,如果△PBC是以CP为腰的等腰三角形,求△BCD的面积.

Answer 1

1.
已知Rt△ABC中，BC=2cm，cotA=AC/BC=2
所以，AC=4cm
已知∠ACB=90°，所以由勾股定理得到：AB=√(4^2+2^2)=2√5
已知点P的运动速度为√5cm/s，点P在线段AB上移动，且不与A、B重合
所以，0＜t＜2
点P的运动时间为t，则AP=√5t
如图，过点P作AC的垂线，垂足为E
因为∠ACB=90°
所以，Rt△AEP∽Rt△ACB
则，AP/AB=AE/AC=PE/BC
所以：(√5t)/(2√5)=AE/4=PE/2
所以，AE=2t，PE=t
那么，CE=4-2t
所以，S△CPE=(1/2)*PE*CE=(1/2)*t*(4-2t)=-t^2+2t
在Rt△CPE中由勾股定理得到：CP^2=PE^2+CE^2=t^2+(4-2t)^2
=5t^2-16t+16
而，Rt△BCD∽Rt△CPE
所以：S△BCD/S△CPE=BC^2/CP^2=4/(5t^2-16t+16)
===> S/(-t^2+2t)=4/(5t^2-16t+16)
===> S=(-4t^2+8t)/(5t^2-16t+16)（0＜t＜2）

2.
△PCB是以CP为腰的等腰三角形，所以：
①当CP=BC=2时：
===> CP^2=5t^2-16t+16=4
===> 5t^2-16t+12=0
===> (5t-6)*(t-2)=0
===> t1=6/5，t2=2（舍去）
则此时S=(-4t^2+8t)/(5t^2-16t+16)
=[(-4)*(t^2-2t)]/4
=-t^2+2t
=-(6/5)^2+(12/5)
=24/25
②当PC=PB时：
因为△ACB为直角三角形，所以此时点P为AB中点
则，AP=PB=√5t=√5
所以，t=1
则，S=(-4t^2+8t)/(5t^2-16t+16)=(-4+8)/(5-16+16)=4/5.

Answer 2

（1）当CP经过△ABC的重心时
CP是AB边上的中线
因为，∠ACB=90°
所以CP=BP=AP
所以∠PCB=∠PBC
因为BD⊥CP,垂足为点D
所以∠BDC=∠ACB=90°
所以:△BCD∽△ABC.
（2）若BC=2厘米，cotA=2,
则AC=4厘米，AB=2根号5厘米
过点D作DE⊥AC,垂足为点E
设点P的速度是1厘米/秒点P运动的时间为t秒
此时AD=t厘米，AE=2t/根号5,DE=t/根号5,,CE=4-2t/根号5,CD^2=(t/根号5)^2+(4-2t/根号5)^2
可得:△BCD∽△CDE
△BCD的面积:△CDE面积=（BC/CD)^2
即s=（BC/CD)^2*△CDE面积
而△CDE的面积是1/2*CE*DE=1/2*(4-2t/根号5,)*(t/根号5)
所以s=1/2*(4-2t/根号5,)*(t/根号5)*{4/[(t/根号5)^2+(4-2t/根号5)^2]}
即s=(-4t^2+8根号5t)/(5t^2-16根号5t+80),定义域是（0<=t<=2根号5)
，

Answer 3

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