:已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),且当x<0时,f(x 20
题目:已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),且当x<0时,f(x)>0.(I)验证函数g(...
题目:已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),且当x<0时,f(x)>0.(I)验证函数g(x)=lnln=(1-x)/(1+x)是否满足上述这些条件:(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的主要性质?试就函数的奇属性、单调性的结论写出来,并加以证明
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解:(1)证明:∵f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
),任取x,y属于(-1,1)且x=y,则有f(x)-f(x)=f(0)=0.
令x=0,则 0-f(y)=f(-y),即 f(-y)=-f(y),
∴函数f(x)是奇函数.
(2)在f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)中,令y=-x,可得 f(x)-f(-x)=f(
2x
1+x2
),即 f(x)=
1
2
•f(
2x
1+x2
).
∴f(an)=
1
2
•f(
2an
1+a2n
)=
1
2
f(an+1),
故数列{f(an)}是公比等于2的等比数列,首项为 f(
1
2
)=1,
故f(an)=1×2n-1=2n-1.
(3)由a1=
1
2
,an+1=
2an
1+a2n
(n∈N*) 可得 a2=
4
5
,
∵An=
a1+a2+…+an
n
(n∈N*),
故当n=2时,|
n
i=1
ai-
n
i=1
Ai|=|a1+a2-a1-
a1+a2
2
|=|
3
20
|<
n-1
2
=
2-1
2
=
1
2
,故当n=2时,不等式成立.
假设当n=k时,不等式成立,即 |
k
i=1
ai-
k
i=1
A1|<
k-1
2
,
则 |
k+1
i=1
ai-
k+1
i=1
AI|=|
k
i=1
ai-
k
i=1
AI+ak+1-Ak+1|<|
k
i=1
ai-
k
i=1
AI |+|ak+1-Ak+1|
<
k-1
2
+|
(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)
k+1
|.
由于a1=
1
2
,an+1=
2an
1+a2n
<1,故有an+1-an=
an-an3
1+a2n
>0,故数列{an}为增数列.
故当n≥2时,
1
2
<an<1,∴|ai-ak+1|<
1
2
,i=1,2,3…k.
∴
k-1
2
+|
(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)
k+1
|
≤
k-1
2
+|
a1-ak+1
k+1
|+|
a2-ak+1
k+1
|+…+|
ak-ak+1
k+1
|=
k-1
2
+k×
1
2(k+1)
<
k-1
2
+
1
2
=
k
2
.
故当n=k+1时,|
n
i=1
ai-
n
i=1
A1|<
n-1
2
成立.
综上可得 |
n
i=1
ai-
n
i=1
A1|<
n-1
2 成立.
x-y
1-xy
),任取x,y属于(-1,1)且x=y,则有f(x)-f(x)=f(0)=0.
令x=0,则 0-f(y)=f(-y),即 f(-y)=-f(y),
∴函数f(x)是奇函数.
(2)在f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)中,令y=-x,可得 f(x)-f(-x)=f(
2x
1+x2
),即 f(x)=
1
2
•f(
2x
1+x2
).
∴f(an)=
1
2
•f(
2an
1+a2n
)=
1
2
f(an+1),
故数列{f(an)}是公比等于2的等比数列,首项为 f(
1
2
)=1,
故f(an)=1×2n-1=2n-1.
(3)由a1=
1
2
,an+1=
2an
1+a2n
(n∈N*) 可得 a2=
4
5
,
∵An=
a1+a2+…+an
n
(n∈N*),
故当n=2时,|
n
i=1
ai-
n
i=1
Ai|=|a1+a2-a1-
a1+a2
2
|=|
3
20
|<
n-1
2
=
2-1
2
=
1
2
,故当n=2时,不等式成立.
假设当n=k时,不等式成立,即 |
k
i=1
ai-
k
i=1
A1|<
k-1
2
,
则 |
k+1
i=1
ai-
k+1
i=1
AI|=|
k
i=1
ai-
k
i=1
AI+ak+1-Ak+1|<|
k
i=1
ai-
k
i=1
AI |+|ak+1-Ak+1|
<
k-1
2
+|
(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)
k+1
|.
由于a1=
1
2
,an+1=
2an
1+a2n
<1,故有an+1-an=
an-an3
1+a2n
>0,故数列{an}为增数列.
故当n≥2时,
1
2
<an<1,∴|ai-ak+1|<
1
2
,i=1,2,3…k.
∴
k-1
2
+|
(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)
k+1
|
≤
k-1
2
+|
a1-ak+1
k+1
|+|
a2-ak+1
k+1
|+…+|
ak-ak+1
k+1
|=
k-1
2
+k×
1
2(k+1)
<
k-1
2
+
1
2
=
k
2
.
故当n=k+1时,|
n
i=1
ai-
n
i=1
A1|<
n-1
2
成立.
综上可得 |
n
i=1
ai-
n
i=1
A1|<
n-1
2 成立.
追问
写好看点,再发一个吧,看的不太清楚
追答
嘎.
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令 t(x)=(1-x)/(1+x)
因为 当x<0时 t >1
所以 g(x)=ln(t)>0
因为 t(x+y/1+xy)=[1-(x+y)/(1+xy)]/[1+(x+y)/(1+xy)]
=(1-x-y+xy)/(1+x+y+xy)
=(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)
故 g[(x+y)/(1+xy)]=ln[(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)]
而 g(x)+g(y)=ln(1-x)/(1+x)+ln(1-y)/(1+y)
=ln[(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)]
g(x)满足以上条件验证完毕。
(2)
f(x) 是单减奇函数。
因为 f(1)+f(0)=f[(1+0)/(1+1*0)]=f(1)
所以 f(0)=0
于是 f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1-x*x)]=f(0)=0
所以 f(-x)=-f(x)
即 f(x) 是奇函数
对任意 -1<x<y<1
因为 f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f[(x-y)/(1-xy)]
而 (x-y)/(1-xy)>0, 于是 f[(x-y)/(1-xy)]<0
即 f(x)<f(y)
故 f(x)是单减函数。
非原创。。
因为 当x<0时 t >1
所以 g(x)=ln(t)>0
因为 t(x+y/1+xy)=[1-(x+y)/(1+xy)]/[1+(x+y)/(1+xy)]
=(1-x-y+xy)/(1+x+y+xy)
=(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)
故 g[(x+y)/(1+xy)]=ln[(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)]
而 g(x)+g(y)=ln(1-x)/(1+x)+ln(1-y)/(1+y)
=ln[(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)]
g(x)满足以上条件验证完毕。
(2)
f(x) 是单减奇函数。
因为 f(1)+f(0)=f[(1+0)/(1+1*0)]=f(1)
所以 f(0)=0
于是 f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1-x*x)]=f(0)=0
所以 f(-x)=-f(x)
即 f(x) 是奇函数
对任意 -1<x<y<1
因为 f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f[(x-y)/(1-xy)]
而 (x-y)/(1-xy)>0, 于是 f[(x-y)/(1-xy)]<0
即 f(x)<f(y)
故 f(x)是单减函数。
非原创。。
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这个f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy)的意思是f((x+y)/(1+xy))还是f(x+(y/(1+xy))啊
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