Question

：已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1)，有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),且当x<0时，f（x

题目：已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1)，有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy),且当x<0时，f（x）>0.（I）验证函数g（x）=lnln=(1-x)/(1+x)是否满足上述这些条件：（2）你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的主要性质？试就函数的奇属性、单调性的结论写出来，并加以证明

Answer 1

解：（1）证明：∵f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)，任取x，y属于（-1，1）且x=y，则有f（x）-f（x）=f（0）=0．
令x=0，则 0-f（y）=f（-y），即 f（-y）=-f（y），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）在f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)中，令y=-x，可得 f（x）-f（-x）=f（
2x
1+x2
），即 f（x）=
1
2
•f（
2x
1+x2
）．
∴f（an）=
1
2
•f（
2an
1+a2n
）=
1
2
f（an+1），
故数列{f（an）}是公比等于2的等比数列，首项为 f（
1
2
）=1，
故f（an）=1×2n-1=2n-1．
（3）由a1=
1
2
，an+1=
2an
1+a2n
(n∈N*) 可得 a2=
4
5
，
∵An=
a1+a2+…+an
n
(n∈N*)，
故当n=2时，|
n

i=1
ai-
n

i=1
Ai|=|a1+a2-a1-
a1+a2
2
|=|
3
20
|＜
n-1
2
=
2-1
2
=
1
2
，故当n=2时，不等式成立．
假设当n=k时，不等式成立，即 |
k

i=1
ai-
k

i=1
A1|＜
k-1
2
，
则 |
k+1

i=1
ai-
k+1

i=1
AI|=|
k

i=1
ai-
k

i=1
AI+ak+1-Ak+1|＜|
k

i=1
ai-
k

i=1
AI |+|ak+1-Ak+1|
＜
k-1
2
+|
(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)
k+1
|．
由于a1=
1
2
，an+1=
2an
1+a2n
＜1，故有an+1-an=
an-an3
1+a2n
＞0，故数列{an}为增数列．
故当n≥2时，
1
2
＜an＜1，∴|ai-ak+1|＜
1
2
，i=1，2，3…k．
∴
k-1
2
+|
(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)
k+1
|
≤
k-1
2
+|
a1-ak+1
k+1
|+|
a2-ak+1
k+1
|+…+|
ak-ak+1
k+1
|=
k-1
2
+k×
1
2(k+1)
＜
k-1
2
+
1
2
=
k
2
．
故当n=k+1时，|
n

i=1
ai-
n

i=1
A1|＜
n-1
2
成立．
综上可得 |
n

i=1
ai-
n

i=1
A1|＜
n-1
2 成立．

追问

写好看点，再发一个吧，看的不太清楚

追答

嘎.

Answer 2

令 t(x)=(1-x)/(1+x)
因为 当x<0时 t >1
所以 g(x)=ln(t)>0
因为 t(x+y/1+xy)=[1-(x+y)/(1+xy)]/[1+(x+y)/(1+xy)]
=(1-x-y+xy)/(1+x+y+xy)
=(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)
故 g[(x+y)/(1+xy)]=ln[(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)]
而 g(x)+g(y)=ln(1-x)/(1+x)+ln(1-y)/(1+y)
=ln[(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)]
g(x)满足以上条件验证完毕。
(2)
f(x) 是单减奇函数。
因为 f(1)+f(0)=f[(1+0)/(1+1*0)]=f(1)
所以 f(0)=0
于是 f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1-x*x)]=f(0)=0
所以 f(-x)=-f(x)
即 f(x) 是奇函数
对任意 -1<x<y<1
因为 f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f[(x-y)/(1-xy)]
而 (x-y)/(1-xy)>0, 于是 f[(x-y)/(1-xy)]<0
即 f(x)<f(y)
故 f(x)是单减函数。
非原创。。

Answer 3

这个f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy)的意思是f（（x+y）/（1+xy））还是f（x+（y/（1+xy））啊