Question

线性相关和线性无关（证明题）

设向量组R={a1,a2,a3}可由向量组S={b1,b2}线性表出。证明:R是线性相关向量组。
书上是这样写的，有点不懂的地方：
考虑线性组合：x1a1+x2a2+x3a3
由已知，可设a1=a11b1+a21b2,a2=a12b1+a22b2,a3=a13b1+a23b2
于是，x1a1+x2a2+x3a3=x1(a11b1+a21b2)+x2(a12b1+a22b2)+x3(a13b1+a23b2)=(a11x1+a12x2+a13x3)b1+(a21x1+a22x2+a23x3)b2
考虑下述齐次线性方程组：（这里不明白，为什么有这个方程组？b1,b2的系数都是0？）
a11x1+a12x2+a13x3=0
a21x1+a22x2+a23x3=0
这个方程组必有非零解，任取它的一个非零解x1=k1,x2=k2,x3=k3,知：
k1a1+k2a2+k3a3=0b1+0b2=0
所以相关。
x1,x2,不用根据x3(自由未知量)解出来吗？
晕了，两个回答都不怎么明白呀
1，多出一些什么项啊
2，为什么若S={b1,b2}线性相关，R就是线性相关向量组？
不懂问什么向量组b1,b2前面的系数为零，x1a1+x2a2+x3a3=0的话，有两个可能啊，一是b1,b2是零向量，二是b1,b2前的系数为零，为什么就直接肯定系数为零？

Answer 1

因为若向量组S={b1,b2}线性相关的话，很显然R是线性相关向量组。
两个向量线性相关，肯定成比例啊
R可以由S线性表出，等于就是用其中的一个向量来表示，那么它的向量也都成比例，所以线性相关。
那么就要考虑S={b1,b2}线性无关的情况。
到x1a1+x2a2+x3a3=(a11x1+a12x2+a13x3)b1+(a21x1+a22x2+a23x3)b2 这一步
要判断a1,a2,a3是否线性相关，那么就要令x1a1+x2a2+x3a3=0 看x1,x2,x3这3个系数是否必须全为0
若全为0，线性无关。 不全为0，线性相关。
也就是令(a11x1+a12x2+a13x3)b1+(a21x1+a22x2+a23x3)b2 = 0
因为此时 b1,b2线性无关
则必有 a11x1+a12x2+a13x3=0
a21x1+a22x2+a23x3=0
根据齐次方程的解的判定
n-r(A)>=1
所以必有解，且这个解空间的维数大于等于1
也就是至少存在一组非0解满足这个方程组
即存在k1,k2,k3（这3个不全为0）
使得k1a1+k2a2+k3a3=0
即证明a1,a2,a3线性相关。
综上：a1,a2,a3线性相关。

出现你说的方程应该就是要用b1,b2线性无关的条件。

如果b1,b2是0，那除非S中也全是0，否则怎么表示，不过这样没什么意义了

Answer 2

你“线性表出”及“线性相关”的定义不清楚。
先说“线性表出”：
1）向量a可由向量组S={b1,b2}线性表出,即：存在数域中的一组数k1,k2,使得a=k1b1+k2b2.
2）向量组R={a1,a2,a3}可由向量组S={b1,b2}线性表出,即，R中的每一个元素（向量）均可由b1,b2线性表出。

1.不懂问什么向量组b1,b2前面的系数为零，x1a1+x2a2+x3a3=0的话，有两个可能啊，一是b1,b2是零向量，二是b1,b2前的系数为零，为什么就直接肯定系数为零？
答：b1,b2不可能是零向量。若不然，0的线性组合还是0，既然R={a1,a2,a3}可由向量组S={b1,b2}线性表出，即a1,a2,a3均为b1,b2的线性组合，只有a1=a2=a3=0，自然R是线性相关的。

2.“线性相关”。这个证明，要研究R是否线性相关，即考虑是否存在一组数x1，x2，x3满足线性组合：x1a1+x2a2+x3a3=0 ，其中（x1，x2，x3）不为（0，0，0） .

由已知，可设a1=a11b1+a21b2,a2=a12b1+a22b2,a3=a13b1+a23b2 %这是“线性表出”的定义；

于是，x1a1+x2a2+x3a3=x1(a11b1+a21b2)+x2(a12b1+a22b2)+x3(a13b1+a23b2)=(a11x1+a12x2+a13x3)b1+(a21x1+a22x2+a23x3)b2
考虑下述齐次线性方程组：（这里不明白，为什么有这个方程组？b1,b2的系数都是0？） %现在的目标是要证明（x1，x2，x3）有一组非零解，见上；

a11x1+a12x2+a13x3=0
a21x1+a22x2+a23x3=0
这个方程组必有非零解， %齐次线性方程组有非零解，则必有系数矩阵的行列式为0.（反之，若系数矩阵的行列式不为0，则它只有零解）；

任取它的一个非零解x1=k1,x2=k2,x3=k3,知：
k1a1+k2a2+k3a3=0b1+0b2=0 %找到了一组非零解（x1，x2,x3)=(k1,k2,k3)，由“线性相关”定义.
所以相关。
x1,x2,不用根据x3(自由未知量)解出来吗？%x1，x2，x3“平级”的，没有谁去解谁的问题。

Answer 3

不用，它是一个引入量，其实只起到辅助的作用，最后对结果都没有影像的。。

你不明白的那个，你看下设的方程a1=a11b1+a21b2,a2=a12b1+a22b2,a3=a13b1+a23b2

在把他带入原来的方程x1a1+x2a2+x3a3

x1a1+x2a2+x3a3=x1(a11b1+a21b2)+x2(a12b1+a22b2)+x3(a13b1+a23b2)=(a11x1+a12x2+a13x3)b1+(a21x1+a22x2+a23x3)b2

你把它拆开合并同类项。比较下系数，就是
x1a1+x2a2+x3a3方程跟后面方程对照，就会出现多出一些项，这样的话这些项必须等于0

所以必须满足a11x1+a12x2+a13x3=0
a21x1+a22x2+a23x3=0

这样说明理解吗？？？

Answer 4

连个悬赏都没有，还指望有人回答。
下面简单证明一下。
β，α2，α3线性无关，则β，α2线性无关
β，α1，α2线性相关，则α1可由β，α2线性表示，且表示唯一。
那么α1可由β，α2，α3线性表示。
证毕。
newmanhero
2015年5月16日22:23:15
希望对你有所帮助，望采纳。