Question

求与ln(x+1)有关的不等式及简单提示下证明方法，ln(x+1)＜x这种就算了。越多越好！

Answer 1

ln(x+1)＜x，
<==>f(x)=x-ln(x+1)>0(x>-1),
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1),
-1<x<0时f'(x)<0,f(x)↓，x>0时f'(x)>0,f(x)↑，
∴f(x)>=f(0)=0,
∴ln(x+1)<=x.
您的题目要作如上改动。

追问

你说的地球人都知道。我要有点难度的。比如ln（x 1）小于x／（根号下x 1） x为正

追答

ln（x+ 1）0,
方法不变：
设f(x)=x/√(x+1)-ln(x+1),
则f'(x)=1/√(x+1)-(x/2)(x+1)^(-3/2)-1/(x+1)
=[1+x/2-√(x+1)](x+1)^(-3/2)>0,
∴f(x)↑，
∴f(x)>f(0)=0,
∴命题成立。
所谓提高难度，大都是计算难些。

Answer 2

ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+....
上式右边任一处截断都是一个不等式