Question

线性代数证明题 巨简单!

A、B与A+B可逆 证明（A逆）+（B逆）也可逆 并求其逆
是[(A逆)+(B逆)]可逆

Answer 1

有道理哈
(A+B)^逆*A*(A逆+B逆)*B=(A+B)^逆*(A+B)=E
左边有四项，因为det(MNPQ)=detM*detN*detP*detQ,右边detE!=0
所以det(A逆+B逆)非0，所以(A逆+B逆)可逆。
由于B可逆，等式两边同时右乘B逆，得
(A+B)^逆*A*(A逆+B逆)=B逆
两边先右乘(A逆+B逆)^逆，再左乘B，得到
(A逆+B逆)^逆=B*(A+B)^逆*A

Answer 2

注释:det()是矩阵的行列式，A-1是A的逆矩阵,!=表示不等于
A,B,A+B可逆
det(A)!=0
det(B)!=0
det(A+B)!=0
则det(A-1)+det(B-1)
=1/det(A)+1/det(B)
=det(A)+det(B)/[det(A)det(B)]
!=0

所以det(A-1)+det(B-1)可逆

=

Answer 3

证明：
A(A^(-1)+B^(-1))B= B+A
(A^(-1)+B^(-1))B=A^-1(B+A)=A^-1(A+B)
(A+B)可逆
(A^(-1)+B^(-1))B(A+B)^(-1)=A^-1
(A^(-1)+B^(-1)) * B(A+B)^(-1)A=单位阵
根据逆的定义
A^(-1)+B^(-1) 可逆且逆是B(A+B)^(-1)A

Answer 4

因为AB(A+B)^(-1)×[（A逆）+（B逆）]=E，所以命题得证。
逆都求出来了，那还不可逆呀。这叫构造法证明，懂吗？

Answer 5

都巨简单了,你还问什么 ?