Question

1×2×3+2×3×4+3×4×5+……n(n+1)(n+2)

等于几

Answer 1

n= 1 和是 6
n= 2 和是 30
n= 3 和是 90
n= 4 和是 210
n= 5 和是 420
n= 6 和是 756
n= 7 和是 1260
n= 8 和是 1980
n= 9 和是 2970
n= 10 和是 4290
n= 11 和是 6006
n= 12 和是 8190
n= 13 和是 10920
n= 14 和是 14280
n= 15 和是 18360
n= 16 和是 23256
n= 17 和是 29070
n= 18 和是 35910
n= 19 和是 43890
n= 20 和是 53130
n= 21 和是 63756
n= 22 和是 75900
n= 23 和是 89700
n= 24 和是 105300
n= 25 和是 122850
n= 26 和是 142506
n= 27 和是 164430
n= 28 和是 188790
n= 29 和是 215760
n= 30 和是 245520
n= 31 和是 278256

Answer 2

呵呵，“我不是他舅”的
n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n
1×2×3+2×3×4+3×4×5+……n(n+1)(n+2)
=(1^3+2^3+……+n^3)+3*(1^2+2^2+……+n^2)+2*(1+2+……+n)
1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+……+n=n(n+1)/2
是对的，但没有告诉你为什么，我告诉你为什么
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
吧
证明
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证：
利用(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3
1=[(k+1)-k]^3=(k+1)^3-k^3-3(k+1)^2*k+3(k+1)k^2
所以，
(k+1)^3-k^3=3(k+1)^2*k-3(k+1)k^2+1=3k^2+3k+1，则
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*1+1
……
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
竖式相加，得
k^3-1=3*[1^2+2^2+…+k^2]+3[1+2+…+k]+k*1
3*[1^2+2^2+…+k^2]=k^3-1-k-3*k(k+1)/2
=> 1^2+2^2+…k^2=k(k+1)(2k+1)/6
可以用类似的方法证明
1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证：
利用a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+…+ab^(n-1)+b^n
=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b) （等比数列）
得a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)[a^n+a^(n-1)b++ab^(n-1)+b^n]
则(k+1)^4-k^4=(k+1)^3+[(k+1)^2]*k+(k+1)k^2+k^3
=4k^3+7k^2+5k+1

2^4-1^4=4* 1^3+7*1^2+5*1+1
3^4-2^4=4*2^3+7*2^2+5*2+1
……
(k+1)^4-k^4=4*k^3+7*k^2+5*k+1
竖式相加，得
(k+1)^4-1=4*[1^3+2^3++k^3]+7*[1^2+2^2++k^2]+5*[1+2++k]+k*1
利用已证明的1^2+2^2+…k^2=k(k+1)(2k+1)/6，可解得
1^3+2^3+……+k^3=[k(k+1)/2]^2.

利用(k+1)^5-k^5=(k+1)^4+[(k+1)^3]k+[(k+1)^2]k^2+(k+1)k^3+k^4
竖式相加可求出1^4+2^4+…+k^4,但要利用前面平方和，立方和的结果，
原则上n次方和都可以这样求，但是你必须求出了前面的n-1次方和才行哈。
这样，原则上1*2*3*4+2*3*4*5+…＋n(n+1)(n+2)(n+3)
1*2*3*4*5+2*3*4*5*6+…+n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
……
……
都可以求出来，因为通式相加可表示为平方和，立方和，四次方和等等……

Answer 3

n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n
1×2×3+2×3×4+3×4×5+……n(n+1)(n+2)
=(1^3+2^3+……+n^3)+3*(1^2+2^2+……+n^2)+2*(1+2+……+n)
1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+……+n=n(n+1)/2

所以原式=[n(n+1)/2]^2+3n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2
=n^2(n+1)^2/4+n(n+1)(2n+1)/2+n(n+1)
=[n(n+1)/4]*[n(n+1)+2(2n+1)+4]
=[n(n+1)/4]*(n^2+5n+6)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

Answer 4

公式1^3+2^3+...+n^3=n^2(n+1)^2/4
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
因为n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n
可令bn=n(n+1)(n+2),求bn各项和Sn;
所以Sn=(1^3+2^3+...+n^3)+3(1^2+2^2+...+n^2)+2(1+2+...+n)
=n^2(n+1)^2/4+n(n+1)(2n+1)/2+n(n+1)
=n^4/4+3n^3/2+11n^2/4+3n/2
即1×2×3+2×3×4+3×4×5+……n(n+1)(n+2) =n^4/4+3n^3/2+11n^2/4+3n/2

Answer 5

它又不是等差的
不能用等差数列求和公式！
应该是
通项=n(n+1)(n+2)=n^3+2n^2+2n
再利用公式
1+2^3+…+n^3=(1/4)*n^2*(n+1)^2;
1+2^2+…+n^2=(1/6)*n*(n+1)*(2n+1);
1+2+…+n=(1/2)*n*(n+1);
将上面三式相加整理即可