Question

求极限，具体题目及参考答案见图片

具体题目及参考答案见图片主要需要解释图片中画框部分分别是怎么分析得出的?将具体计算过程写得越细致越好，并指出每一步分别运用了什么定理或性质本人基础薄弱，谢谢

Answer 1

实际上解题步骤里说的比较清楚了

首先是洛必达法则，即分子分母同时求导
x *∫(0到x) f(t)dt -∫(0到x) t f(t) dt 的导数
为∫(0到x) f(t)dt+x *f(x) -x*f(x)=∫(0到x) f(t)dt
同理x *∫(0到x) f(t)dt的导数为∫(0到x) f(t)dt +x *f(x)
就是你要的结果

追问

洛必达法则那一步了解啦
麻烦再解释一下，下面f(0)/{f(0)+f(0)}那一步是怎么成立的？？？

追答

首先是积分中值定理
有在[0,x]之间的ξ，满足使x*f(ξ)=∫(0到x) f(t)dt
那么分子分母都代入得到x*f(ξ)/[x*f(ξ)+x*f(x)]
x趋于0，于是ξ当然趋于0，即x=ξ，代入就是f(0)/{f(0)+f(0)}

追问

请原谅我依然没能理解

Answer 2

题目倒数第二个等号用到了积分中值定理，如果不好理解的话，可再次使用罗必塔法则。
对倒数第三个等号后面再次使用罗必塔法则，有
=lim(x→0) f(x)/[f(x)+f(x)+xf'(x)]
=lim(x→0) f(x)/[f(x)+f(x)+xf'(x)]
=f(0)/[2f(0)+0]
=1/2.