Question

一道高中数学题。。

定义一：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得在x∈D时，kx+m1≤f（x）≤kx+m2 恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道．
定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，则称f（x）在正无穷处有永恒通道．那f（x）=
x2-1 为什么是在正无穷处有永恒通道的函数？它是有渐近线y=±x，但是存在两条距离为d的直线不得平行吗，哪有另一条与y=x或y=-x平行的直线把它夹在中间啊？
是f（x）= 根号下x方-1

Answer 1

有一个不太严谨的解释：f ' (x) = x / (根号下x方-1), 这个是递减函数，并且它的极限是 1 @ +∞，所以 f(x) 的斜率是递减并趋近 1， 所以一定存在一个函数 y1 = x + m1 可以满足 f（x）< y1 when x ∈ [x0，+∞）, 由于 f(x) 递增， 所以 很容易 找一个 y2 = x + m2 满足 f(x) > y2

Answer 2

不是有个区间吗？在某个区间恒成立啊》？
“若一个函数f（x），对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x0，使得函数f（x）在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道。”这话可以理解为x∈[x0，+∞）时kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立吗？其中m1-m2的绝对值为任意正数ɛ。

追问

是啊，那m1可以大于等于0，那m2能得几呢？我觉得得几都和f（X）有交点

追答

好吧，你说有交点，的确是有交点。
我们把直线L:y=x向下移根号2倍ɛ个单位(ɛ为任意正数)，即变为L1:y=x-√2ɛ，这两条直线距离为ɛ。L2与f(x)必然有交点，设为A(x',y'),那么在[x',+∞)是否满足x-√2ɛ≤f(x)≤x恒成立？
回到定义1,得出f(x)在x∈D即x∈[x',+∞)内用一个宽度为ɛ的通道。
再回到定义2，定义2中提到对于任意正数ɛ(已经满足了),存在一个实数x0(就是那个交点A的横坐标x'，已经满足了),使得f(x)在[x0，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道(已经满足了)，所有条件都满足了当然f(x)在正无穷处有永恒通道。

追问

那又说了，f（x）=lgx不是在正无穷处有永恒通道的函数，为什么呢，他俩不一样吗

追答

当x→+∞时，lgx不会永远靠近某一直线。所以在x→+∞时候，kx+m1≤f（x）≤kx+m2不能恒成立。
反过来指数函数就是正无穷处有永恒通道的函数。
关键是要看定义，要在x∈[0,+∞)这个区间。

Answer 3

，

上面的错了，不要

Answer 4

好长啊~~~~~~~~