Question

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有： 都满足f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且x＞0时，f（x）

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有： 都满足f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且x＞0时，f（x）＞1.

（1）求证：f（x）是R上的增函数
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求f（1）与f（8）的值

Answer 1

设g(x)=f(x)-1 ,则g(x+y)=f(x+y)-1=f(x)-1+f(y)-1=g(x)+g(y) 则g(x)为加性函数，有g(x)=xg(1)
f(x)=g(x)+1=xg(1)+1=x(f(1)-1)+1
x＞0时，f（x）＞1 ,所以 f(1)>1 当x>y 时 f(x)-f(y)=(x-y)(f(1)-1)>0 即f(x)在R上为增函数

若不熟悉加性函数的性质，可如此做。
任选a,b∈R，其中a>b ,则 a-b>0 则f(a-b)>1
f(a)-f(b)=f(b+a-b)-f(b)=f(b)+f(a-b)-1-f(b)=f(a-b)-1>0
所以f(x)是R上的增函数

（2）f(x)是R上的增函数,而f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}
说明 f(t)<2的范围为 t<1/(f(1)-1) 即x²-ax+5a<1/(f(1)-1)的解为-3＜x＜2
只有一种可能 即x²-ax+5a在-3和2两处恰好等于1/(f(1)-1)
即 x²-ax+5a=(x+3)(x-2)+1/[f(1)-1]=x²+x-6+1/[f(1)-1]
解得a=-1 f(1)=2
f(8)=8(f(1)-1)+1=9

若不熟悉加性函数的性质，可如此做。
存在c使得f(c)=2,f(x)是R上的增函数,所以f（x²-ax+5a）＜2和x²-ax+5a<c的解集一致
其解集为-3＜x＜2,说明在抛物线x²-ax+5a上x=-3，x=2其值恰好为c
即x²-ax+5a=(x+3)(x-2)+c=x²+x-6+c 解得 a=-1,c=1
若-3<x<2,则(x+3)(x-2)<0 (x+3)(x-2)+1<1
f(x)是R上的增函数 知f(x²-ax+5a)=f( (x+3)(x-2)+1)<f(1)=2 解集确实为-3＜x＜2
所以f(1)=2 ,f(8)=2f(4)-1=2[2f(2)-1]-1=4f(2)-3=4[2f(1)-1]-3=4[2*2-1]-3=9

Answer 2

1.
证：
设x2=x1+m (m为>0的常数)
由x>0时，f(x)>1得f(m)>1
f(x2)=f(x1+m)=f(x1)+f(m) -1>f(x1)+1-1=f(x1)
f(x2)>f(x1)
函数f(x)是R上的增函数。
2.
由解集构造不等式
(x+3)(x-2)<0
x²+x-6<0
x²+x-4<2
此不等式与f(x²-ax+5a)<2为同一个不等式
f(x²-ax+5a)=x²+x-4
令f(x)=kx+b
k(x²-ax+5a)+b=x²+x-4
整理，得
(k-1)x²-(ak+1)x+5ak+b+4=0
要对任意x，等式恒成立，只有
k-1=0
ak+1=0
5ak+b+4=0
解得k=1 a=-1 b=1
f(x)=x+1
f(1)=1+1=2 f(8)=8+1=9