Question

如图,抛物线Y=ax的平方+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)B(2,0),与y轴交x于点C，顶点为DE（1,2）

轴分别交于点F、G。
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，
（3）若点K在x轴的上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，三角形EFK的面积最大，

Answer 1

EF 是线段CB的中垂线吗？

如是，设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-2)，把C（0,4）带入，得出a=-1/2。

于是解析式为y=-1/2x^2-x+4,顶点D的坐标为（-1,9/2）

(2)因为EF是BC中垂线，则B、C两点关于直线EF对称，于是连接BD交直线EF于点H，则△CDH的周长最小。

直线BC的解析式为y=kx+4，把点B(2,0) 带入，得出k=-2。同时点E为线段BC中点，有E(1，2）。

所以直线EF的解析式可以设为Y=1/2x+c，把E(1，2）带入，得出c=3/2，

EF 解析式为y=1/2x+3/2……………………①

直线BD的解析式为y=dx+e，把D（-1,9/2）,B(2,0)带入，得出d=-3/2,e=3,

所以BD解析式为y=-3/2x+3…………………………②

由①②联列方程组得出x=3/4,y=15/8，于是H（3/4,15/8）

（3）EF 解析式为y=1/2x+3/2，得出点F（-3,0）

设K（f，-1/2f^2-f+4)，过K作KM//y轴，交FE于点M，则M(f,1/2f+3/2)

令F到KM距离为h1，E到KM距离为h2，那么△EFK的面积=△KMF的面积+△EKM的面积，两三角形同底为KM，h1+h2=4为定值，当底KM最大时面积最大，

于是有KM=-1/2f^2-f+4-(1/2f+3/2)=-1/2f^2-3/2f+5/2，

根据二次函数最值问题有当二次项系数为负数时取最大值，于是当f=-3/2时，面积最大，

此时，-1/2f^2-f+4=35/8.

当K坐标为（-3/2,35/8）时△EFK面积最大。