Question

由曲线y=1/x和直线x=1,x=2及y=0围成的平面图形绕x轴旋转一周所的旋转体体积。

Answer 1

条直线x=1，x+y-2=0和x-y-2=0围成一个封闭的平面图形．求此平面图形绕直线x=1旋转一周所得旋转体的体积和表面积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：同一坐标系内作出三条直线，得它们的交点为A（1，1）、B（1，-1）、C（2，0），△ABC构成以C为直角顶点的等腰直角三角形．由此可得所求旋转体是两个底面半径为1，高为1的全等圆锥拼接而成，结合锥体体积公式可得本题的答案．解答：解：作出直线x=1，x+y-2=0和x-y-2=0，如图
它们的交点分别为A（1，1），B（1，-1），C（2，0），
且△ABC构成以C为直角顶点的等腰直角三角形，
以直线AB：x=1为轴旋转一周，
所得几何体为两个底面半径为1，高为1的全等的圆锥拼接而成的锥体．
∴所求几何体的体积为：V=2•
13πr2h=
2π3；表面积为S=
12l•2πr•2=2
2π．

Answer 2

在x到x+dx处(1≤ x < 2), 旋转体为半径是1/x, 高为dx的圆柱, 其体积是dV = π(1/x)²dx = πdx/x²
旋转体体积V = ∫₁²πdx/x² = -(π/x)|₁² = -π/2 + π = π/2