Question

在RT△ABC中,BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E

（1）设○O是△BDE的外接圆，求证：AC是○O的切线
（2）设○O交BC于点F，连接EF，求EF/AC的值

Answer 1

证明：（1）∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连接OD
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB2=BC2+CA2=92+122=225
∴AB=15（7分）
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴AO/AB=OD/BC
∴(15-r)/15=r/9
∴r=45/8
∴BE=45/4
又∵BE是⊙O的直径
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴EF/AC=BE/BA=45/4/15=3/4

Answer 2

证明：（1）∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连接OD
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB2=BC2+CA2=92+122=225
∴AB=15（7分）
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴AO/AB=OD/BC
∴(15-r)/15=r/9
∴r=45/8
∴BE=45/4
又∵BE是⊙O的直径
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴EF/AC=BE/BA=45/4/15=3/4