Question

已知a>0,b>0,且满足3a+b=a的平方+ab,则2a+b的最小值为

Answer 1

解：
3a+b=a²+ab
(a-1)b=3a-a²
b>0，b=(3a-a²)/(a-1)
(3a-a²)/(a-1)>0
a(a-3)/(a-1)<0
a>0，1<a<3
2a+b
=2a+ (3a-a²)/(a-1)
=[2a(a-1)+(3a-a²)]/(a-1)
=(a²+a)/(a-1)
=(a²-a+2a-2+2)/(a-1)
=a +2 +2/(a-1)
=(a-1) +2/(a-1) +3
1<a<3，a-1>0
由均值不等式得：
(a-1)+ 2/(a-1)≥2√[(a-1)·2/(a-1)]=2√2
当且仅当a=√2 +1时取等号
(a-1) +2/(a-1) +3≥3+2√2
2a+b的最小值为3+2√2

追问

用基本不等式，2a＝b，得出a＝三分之五，b等于三分之十，为什么不行呢😊

追答

a、b之间的相互关系，是由已知等式确定的。
因此不能强行令2a=b，公式不是可以胡乱套用的。