Question

设F1，F2为双曲线x²／4－y²／4＝1的两个焦点

设F1，F2为双曲线x²／4－y²／4＝1的两个焦点 点P在双曲线上且∠F1PF2＝90° 则求三角形F1PF2的周长和面积

Answer 1

由已知，a^2=b^2=4 ，所以 c^2=a^2+b^2=8 ，
则 a=b=2 ，c=2√2 ，
设 PF1=m ，PF2=n ，所以由勾股定理得 m^2+n^2=(2c)^2=32 ，（1）
而由双曲线定义可得 |m-n|=2a=4 ，（2）
（1）-（2）^2 得 2mn=16 ，
所以三角形 F1PF2 的面积 S=1/2*mn=4 ，
由于 (m+n)^2=m^2+n^2+2mn=48 ，因此 m+n=4√3 ，
因此，三角形 F1PF2 的周长为 m+n+2c=4(√3+√2) 。